ПОКАЗНИКОВА ФУНКЦІЯ

Деякі види ... функцій, що найчастіше використовуються, насамперед показникові, відкривають доступ до багатьох досліджень.

Леонард Ейлер

§19. Поняття показникової функції

Приклади залежностей, які приводять до поняття показникової функції.

Приклад 1. Під час радіоактивного розпаду маса m речовини змінюється з часом t за законом m = m₀a^kt , дe m — маса речовини через t років після початку розпаду; m_o — початкова маса речовини, k і а - сталі величини для даної речовини.

Приклад 2. Кількість у мешканців міста з мільйонним населенням через х років обчислюється за формулою у = 1000 000 • 1,02^х (за умови, що кожного року спостерігається приріст населення на 2 %).

Приклад 3. Температура Г 100 г піску, нагрітого до 100 °С, змінюється при 0°С залежно від часу t за формулою Т= 100-0,8'.

Приклад 4. Під час витікання рідини з циліндричної посудини через тонку трубку, розміщену в основі циліндра, висота h рівня рідини з часом t змінюється за формулою h = h_Qaде h₀ — початковий рівень рідини, а — стала, що залежить від діаметра трубки.

У кожному з наведених прикладів формула задає функцію, для обчислення значення якої сталий множник доводиться множити на степінь сталої зі змінним показником, яка має цілком певне додатне значення. Найпростішим випадком таких залежностей є функція вигляду у = а^х, яку називають показниковою.

Означення і графік показникової функції. Ви вже знаєте, що коли а — додатне, то для будь-якого числах степінь а^x має цілком певне додатне значення. Тому а^x є функцією змінної х, яка визначена на всій числовій осі, тобто на множині R.