§18. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція

Степінь з натуральним і цілим показником. Для узагальнення поняття степеня нагадаємо основні поняття і формули.

Іноді цю рівність необхідно прочитати справа наліво: щоб помножити степені з однаковими показниками, достатньо перемножити основи і результат піднести до степеня з тим самим показником: аⁿ bⁿ сⁿ = (abc)ⁿ.

Щоб піднести до степеня дріб, треба піднести до цього степеня чисельник і знаменник і перший результат поділити на другий:

Щоб піднести до степеня степінь, треба показники степенів перемножити, а основу степеня залишити без зміни: (а^т)^п = а^тп.

Зазначимо, що у формулюванні цих правил ніде не вказувалося, яким має бути показник степеня: натуральним числом чи цілим. Це тому, що множина цілих чисел включає множину натуральних чисел як свою частину. Отже, наведені правила стосуються степенів з натуральним, нульовим і цілим від'ємним показниками. Зрозуміло, що для випадку степеня з нульовим і цілим показниками ставиться додаткова умова, щоб основа степеня не дорівнювала нулю.

Степінь з раціональним показником. Введення степеня з нульовим і від'ємним показниками було першим розширенням поняття про степінь. При цьому нові означення степеня з нульовим і від'ємним показниками було введено так, що властивості степеня з натуральним показником залишилися правильними і для степенів з цілим показником.